ژولیت کندی، تایمز لیترری ساپلیمنت — ریاضیات حاصل اعمال خلاقانۀ تخیل انسانی است؛ باوجوداین، خلاقیت ریاضیدان را حقایق بیرونی محدود ساختهاند. این در اختیار ریاضیدان نیست که تعدادی نامتناهی عدد اول وجود داشته باشد یا متناهی؛ یا در حقیقت، فارغ از خواست ریاضیدان، این تعداد یا متناهی است یا نامتناهی و بهواسطۀ قضایای اقلیدس میدانیم که نامتناهی است.
دربارۀ اثباتپذیری۱ بسیار میدانیم. مثلاً، بسیاری از اثباتهای ریاضی میتوانند مکانیکی۲ شوند، یعنی میشود درستی آنها را با استفاده از رایانه سنجید. در واقع میتوان فرآیندی کاملاً مکانیکی را در نظر گرفت که در آن فرد میتواند مثلاً یک ماشین تورینگ۳ بسازد که هر گمانهای۴ را بهعنوان ورودی بپذیرد و پاسخ بلی یا خیر، یا صادق یا کاذب قطعی، در مدت زمانی متناهی دریافت کند.
یک راه بیان قضایای ناتمامیت۵ (۱۹۳۱) ریاضیدان اتریشی، کورت گودل، این است که بگوییم او ثابت کرده امکان چنین ریاضیاتِ کاملاً مکانیکیای هیچگاه تحقق بیرونی نخواهد یافت.
فیلسوفان گاهی قضایای ناتمامیت را اینگونه تفسیر کردهاند که امکان برداشتی مطلق یا فراگیر از صدق را در ریاضیات زیر سؤال میبرد. اما این موضع خود گودل نبود. با گفتن اینکه «قضایای من تنها نشان میدهند که مکانیکی ساختن ریاضیات ... ناممکن است» (تأکید از من است)، گودل این دیدگاه را بیان میکرد که هر چند فعالیت ریاضیدان را نمیتوان به مجموعهای از قوانین محاسباتی فروکاست، ریاضیات همچنان تصمیمپذیر۶ است، یعنی انسانها میتوانند صدق هر گزارۀ ریاضی را، حداقل در اساس، تأیید یا رد کنند. این اصول ظاهراً مغایر، یعنی تصمیمپذیری از یک طرف و این ایده که ریاضیات را نمیتوان مکانیکی کرد از طرف دیگر، با این باور گودل با هم سازگار شدهاند که ذهن میتواند از مفاهیم معناشناختیای نظیر صدق و معنا استفاده کند که از قوانین محاسباتی متناهی فراتر میروند. همانطور که گودل در ۱۹۵۸ نوشت، «در اثباتهای ریاضی، ما از شهودهایی به درون آن برساختهای ذهنی استفاده میکنیم که نه از ویژگیهای ترکیبی (فضا-زمانی) ... اثباتها، بلکه صرفاً از معنای آنها استفاده میکنند».
اینها در ظاهر امر مدعیاتی فلسفی هستند و در واقع بخشی از دستاورد گودل در اثبات قضایای ناتمامیت این بوده که تصویری خردگرایانه۷ یا لایبنیتسی از فلسفه به نمایش بگذارد که در آن ادعاهای فلسفی باید با روشهای دقیق و ریاضی تأیید (یا رد) شوند. این ادعا در تضاد با دریافت معمول از فلسفه است. جالب است که گودل در نوشتههای منتشرشدۀ اولیۀ خود به نفع چیزی که بعدها خوشبینی خردگرایانه۸ نامید استدلال نمیکند، هرچند بخش زیادی از کار آیندۀ او به چنین استدلالهایی اختصاص خواهد یافت.
اشاره به این نکته مهم است که این پرسشِ مهم و حیاتی که آیا ریاضیات میتواند بهطور کامل و صوری در نظام صوری متناهیواری۹ بازسازی شود یا خیر سؤال گودل نبود. این پرسش در اوایل قرن بیستم و بهعنوان بخشی از چیزی مطرح شد که بعداً به نام «برنامۀ هیلبرت» شناخته شد، پروژۀ چندوجهی ریاضی و فلسفیای که داوید هیلبرت و مکتب او دنبال میکردند. هدف اصلی این برنامه این بود که دغدغهها دربارۀ سازگاری ریاضیات را فرونشاند، شکهایی که در پاسخ به تعدادی پارادکس و ناسازگاریهای منطقی به وجود آمده بود، چیزهایی که هیلبرت آنها را فاجعه میخواند و در جریان پژوهشهایی در مبانی ریاضیات به وجود آمده بود. مثلاً همانطور که برتراند راسل نشان داد، تلاش فرگه برای صورتبندی ریاضیات برای اولین بار ناسازگار بود. همچنین نامتناهی مهتر (مرتبۀ بالاتر)۱۰ که گئورگ کانتور در دهۀ ۱۸۷۰ کشف کرده بود باعث بهوجودآمدن مباحث بسیاری دربارۀ این شد که آیا استفاده از مفاهیم نامتناهیوار در ریاضیات مشروع است یا نه. ریاضیات همیشه با مجموعههای نامتناهی کار کرده بود، اما کانتور سلسلهمراتبی فرامتناهی از اعداد نامتناهی کشف کرد که بسیار فراتر از چیزی میرفت که تا آن زمان ریاضیدانان از آن استفاده میکردند.
ایدۀ برنامۀ هیلبرت این بود که با ارائۀ بازسازیای متناهیوار از ریاضیات میتوان دردسر سازگاری را از کلیت ریاضیات به تعداد محدودی از اصول موضوعۀ۱۱ بدیهی به همراه یک قاعدۀ اثبات بسیار رضایتبخش منتقل کرد. ازآنجاکه بازسازی متناهیوار بود، فرد را قادر میساخت که نشان دهد هر ارجاعی به اشیای نامتناهی، که در مسیر به وجود بیایند، قابل حذف است. یعنی، نشان داده شود که تنها یک صورت کوتاهشده برای ارجاع به متناهی است: آنطور که ریاضیدانهای آن موقع میگفتند، تنها یک طریقالکلام۱۲. مطلوب نهایی اثباتی برای سازگاری با ابزاری متناهی بود.
در بحثهای فلسفی برخی، درست یا غلط، برنامۀ هیلبرت را با صورتگرایی۱۳ در رابطه دانستند: این ایده که ریاضیات میتواند به صورتی خالی-از-محتوا بازسازی شود، یا اگر بخواهیم صورت قویتر را بیان کنیم، اینکه ریاضیات چیزی نیست جز «بازی صوری با نمادها». برخی دیگر این ایده را پذیرفتند که مکتب هیلبرت متعهد به این ایده بود که ریاضیات علیالاصول توصیفی است و لذا دارای محتوا: تنها درستی روشهایش را باید صوری و متناهیوار نشان داد.
قضیۀ اول ناتمامیت از این قرار است: به ازای هر نظام اصل موضوعی که هم سازگار است و هم بهلحاظ محاسباتی به اندازۀ کافی قوی، به این معنا که میتواند دنبالههای متناهی را کدگذاری کند (پایین را ببینید)، جملهای در زبان سیستم هست که صادق است اما درستیاش از اصول موضوعۀ سیستم قابلاثبات نیست.
به
بنابراین گزارهها را میتوان با عدد نشان داد. بهطور خاص، این مسئله شامل گزارههایی دربارۀ نحو خود سیستم هم میشود. بهطور خاص میتوان یک عدد گودل به گزارۀ «x عدد گودل فرمول است» نسبت داد، یا به «x عدد گودل زنجیرهای از فرمولهاست». حتی میتوان عدد گودل را به اثباتها نسبت داد، زیرا گفتن اینکه «x عدد گودل یک اثبات است» نظیر این است که بگوییم «x عدد گودل یک زنجیره است، که هر عنصر آن عدد گودل یک اصل موضوع از سیستم است، یا عدد گودل فرمولی است که از اصول موضوع به واسطۀ وضع مقدم به دست میآید».
با در دست داشتن این ابزار، میتوانیم اثبات گودل برای قضیۀ اول ناتمامیت را بیان کنیم. این مسئله بهطور خاص مبتنی است بر این حقیقت که هر چند مجموعۀ اعداد گودل گزارههایی که در اعداد طبیعی صادقاند نمیتواند با هیچ فرمولی در زبان حساب پئانو تعریف شود، مجموعۀ اعداد گودل برای گزارههایی که در اعداد طبیعی اثباتپذیرند به این شیوه قابل تعریف است (قضیۀ تعریفناپذیری صدق این روزها اغلب به آلفرد تارسکی نسبت داده میشود که اثباتی برای آن قضیه در سال ۱۹۳۶ منتشر کرد).
تعریفپذیری مفهومی دشوار است اما گفتن اینکه اثباتپذیری تعریفپذیر است تنها به این معناست که با فرض هر زنجیرۀ متناهی از فرمولها، تنها با نگاه به آن زنجیره میتوان فهمید که آیا یک اثبات واقعی است یا نه. البته پیداکردن اثبات خود مسئلهای دیگر است.
بههرحال، گودل نشان داد که صدق و اثباتپذیری نمیتوانند اینهمان باشند، زیرا یک مفهوم تعریفپذیر است و دیگری نیست. احتمالاً عجیب نیست که صدق ریاضی، که مربوط است به عینیت و وجود، همان مفهوم اثبات صوری نیست، که مربوط به بینه۲۰ و توجیه است.
گودل میدانست که بهخاطر فضای ضدمتافیزیکیای که در آن زمان وجود داشت، خصوصاً بهخاطر تسلط حلقۀ وین که خود نیز گاهی در آن شرکت میکرد، منطقدانان اثبات او را قبول نخواهند کرد، زیرا مفهوم صدق، به همراه تعریفناپذیری آن، نقشی اساسی در آن بازی میکرد. به همین دلیل، گودل نه اثبات اول قضیۀ ناتمامیت را منتشر کرد و نه قضیۀ مربوط به تعریفناپذیری صدق را و تنها سالها بعد از آنها سخن گفت: یک نمونۀ بارز از محدودیت که با توجه به اهمیت این قضیهها خود را نشان میدهد.
این خلاصهای است از اثبات قضیۀ اول ناتمامیت که گودل در سال ۱۹۳۱ منتشر کرد. تعریفپذیری اثباتپذیری، آنطور که در بالا ذکر کردم، در اثبات اصلی گودل نقش داشت، همانطور که مفهوم خودارجاعی. پدیدۀ خودارجاعی میتواند بدون ضرر باشد، مانند زمانی که کسی دربارۀ خود میگوید که تشنه است. اما همینطور میتواند منجر به پارادکسهایی در زبان طبیعی شود، ازجمله مهمترین آنها پارادکس دروغگو.
برای
فصلنامۀ ترجمان چیست، چه محتوایی دارد، و چرا بهتر است اشتراک سالانۀ آن را بخرید؟
فصلنامۀ ترجمان شامل ترجمۀ تازهترین حرفهای دنیای علم و فلسفه، تاریخ و سیاست، اقتصاد و جامعه و ادبیات و هنر است که از بیش از ۱۰۰ منبع معتبر و بهروز انتخاب میشوند. مجلات و وبسایتهایی نظیر نیویورک تایمز، گاردین، آتلانتیک و نیویورکر در زمرۀ این منابعاند. مطالب فصلنامه در ۴ بخش نوشتار، گفتوگو، بررسی کتاب، و پروندۀ اختصاصی قرار میگیرند. گزیدهای از بهترین مطالب وبسایت ترجمان همراه با مطالبی جدید و اختصاصی، شامل پروندههای موضوعی، در ابتدای هر فصل در قالب «فصلنامۀ ترجمان علوم انسانی» منتشر میشوند. تاکنون به موضوعاتی نظیر «اهمالکاری»، «تنهایی»، «سفر»، «خودیاری»، «سلبریتیها» و نظایر آن پرداختهایم.
فصلنامۀ ترجمان در کتابفروشیها، دکههای روزنامهفروشی و فروشگاه اینترنتی ترجمان بهصورت تک شماره به فروش میرسد اما شما میتوانید با خرید اشتراک سالانۀ فصلنامۀ ترجمان (شامل ۴ شماره)، علاوه بر بهرهمندی از تخفیف نقدی، از مزایای دیگری مانند ارسال رایگان و دریافت یک کتاب بهعنوان هدیه برخوردار شوید. فصلنامه برای مشترکان زودتر از توزیع عمومی ارسال میشود و در صورتیکه فصلنامه آسیب ببیند بدون هیچ شرط یا هزینۀ اضافی آن را تعویض خواهیم کرد. ضمناً هر وقت بخواهید میتوانید اشتراکتان را لغو کنید و مابقی مبلغ پرداختی را دریافت کنید.
پینوشتها:
• این مطلب را ژولیت کندی نوشته است و با عنوان «Kurt Godel and the mechanization of mathematics» در وبسایت تایمز لیترری ساپلیمنت منتشر شده است. وبسایت ترجمان آن را در تاریخ ۴ تیر ۱۳۹۹ با عنوان «کورت گودل، فیلسوفی که پای معنا را به ریاضیات باز کرد» و ترجمۀ مهدی رعنایی منتشر کرده است.
•• ژولیت کندی (Juliette Kennedy) دانشیار دانشکدۀ ریاضیات و آمار در دانشگاه هلسینکی است. او تفسیر گودل: مقالات انتقادی (Interpreting Gödel: Critical Essays) را ویرایش کرده است. او دانشیار دانشکدۀ ریاضیات و آمار در دانشگاه هلسینکی است.
[۱] provability
[۲] mechanized
[۳] Turing Machine
[۴] conjecture
[۵] Incompleteness Theorem
[۶] decidable
[۷] rationalistic
[۸] rationalistic optimism
[۹] finitary
[۱۰] higher infinite
[۱۱] axiom
[۱۲] façon de parler
[۱۳] formalism
[۱۴] the commutative law of addition
[۱۵] Modus Ponens
[۱۶] independent propositions
[۱۷] Fixed Point Theorem
[۱۸] self-reference
[۱۹] arithmetization
[۲۰] evidence